物理数学

無次元化が物理の計算で有効な理由(無次元化で物理の本質を探る)

無次元化が物理の計算で有効な理由(無次元化で物理の本質を探る)

  

無次元化をした方が良いと聞くけど、どうやってやればいいかわからないし、やる必要性がわからない…

この記事で、その悩みを全て解決していきます。

物理の計算で無次元化の意味がよくわからないという人は参考にしてください

 

無次元化とは

 

ここでは、簡単に無次元化とはどんな作業なのかを簡単に解説していきます

物理における次元とは

 

いかなる物理量も以下の次元で全てを表すことができます。

基本量 長さ 質量 時間 電流 温度 物質量 光度
次元 L M T I Θ N J

 

例えば 【力】を例にとると

運動方程式より

$$ m \frac{d^{2} x}{dt^{2}} = F $$

この方程式から

$$ \frac{ d^{2} x}{dt^{2}} \rightarrow LT^{-2} $$

より、力の次元

$$ F \rightarrow MLT^{-2} $$

なりますね。

 

また、基本的には次元が異なるもの同士を足したり、引いたり
イコールで結ぶこともできません

これは、次元を確認することによって
計算ミスを減らせることを意味していますね

 

無次元化とは

 

方程式に現れる変数を無次元の量に変数変換することです。

具体的には、方程式中の質量の次元を持つものを
ある質量(質量の次元)で割って無次元量を作るということです。

無次元化のメリット

 

無次元化のメリットは大きく分けて二つです。

  • 理論的な解析を簡単にする

無次元化をすることによって、方程式のパラメータを減らすことができます

また、無次元化した数と
パラメータが減る数は関係があります。(バッキンガムのπ定理)

 

  • 数値シミュレーションに効果的

 

例えば、\( \hbar \)や\(k_{\text{B}} \)などは、とても小さな値をとりますが

シミュレーションするときは、無次元化してオーダーが1程度になるようにスケールを直します。そうすることで数値計算を容易にすることができます。

無次元化の手順

ここからは、無次元化を実際にどのようにするのかを
見ていきましょう。

ステップごとに解説していきます。

無次元化のステップは

  1. 無次元化が必要な変数を決定する
  2. 無次元化するための基準量を決める
  3. 方程式に無次元量を代入し整理する

 

では、詳しくみていきましょう!

 

1. 無次元化が必要な変数を決定する

 

無次元にするべき変数をまず決定しましょう。

例えば、個数やθは無次元であるから無次元化は不要です。

 

2. 無次元化するための基準量を決める

 

この過程は、すぐに最適なものがわからなければスキップしても良い

具体例として、単振り子で説明すると

単振り子の周期は \( 2 \pi \sqrt{m/k} \) で表せるので、時間の単位は以下のように無次元化すると良いと思われます。

$$ \tau = \frac{t}{2 \pi \sqrt{m / k}} $$

この基準となる定数をうまく決めることがポイントです!

 

うまく決まらない場合は、
適当に定数と置いて方程式を無次元化して最適なものを選んでも良いです

具体例の場合なら時間 tを以下のように、いったんスケール変換しましょう

$$ \tilde{t} = \frac{t}{\tau} $$

そして、これを方程式に入れて最適な\( \tau \)を決めましょう。

無次元化には、任意性があります。
しかし係数が1になるように(方程式が綺麗になるように)選ぶのが良いです

 

3. 方程式に無次元量を代入し整理する

 

 

無次元化する基準量が決まったら
実際に方程式に代入し、式を整理しましょう。

このとき、式が簡単になっていれば大成功です!!

 

次は、このプロセスを具体例を使って実行していきます。

 

具体例で無次元化を学ぶ

ここで扱う具体例は、簡単なバネの単振動です。

簡単な例ですが、
確実に無次元化が理論の解析を楽にしていることを感じられます。

 

考えるバネの運動方程式

考えるバネの運動方程式は、以下のようにかけます。

$$ m \frac{ d^{2}x }{dt^{2}} = ~~ – k x $$

ここで、\( m\)はバネの質量で、\(k\)はバネ定数です。
つまり考えられるパラメータは、\(m\)と\(k\)です。

無次元化するべき量を決める

 

今回の例で、
無次元化するべき量は時間ですね

なのでこれから、
時間を無次元化するための基準量を考えていきます。

無次元化する基準量を決める

 

今回の例の場合、
無次元化のための基準量は簡単に予想できます。

まず考えるのが、周期 \( 2 \pi \sqrt{m/k} \) ですね

しかし、\( 2 \pi \) をつけてしまうと方程式があまり綺麗にならないことが
すぐにわかります。

なので今回は基準量として \( \sqrt{m / k} \)を採用しましょう。

つまり以下のような無次元量の時間で方程式を無次元化していきます。

$$ \tau = \frac{t}{\sqrt{m/k}} $$

これで準備は整いました。実際に方程式を無次元化してみます

方程式を無次元化する

 

まず時間微分について

$$ \frac{d}{dt} = \frac{d\tau}{dt}\frac{d}{d \tau} = \sqrt{\frac{k}{m}}\frac{d}{d \tau} $$

さらに、同様の計算をすると

$$ \frac{d^{2}}{dt^{2}} = \frac{k}{m} \frac{d^{2}}{d \tau^{2}} $$

となり、運動方程式を変換すると

$$ \frac{d^{2} x}{d\tau^{2}} =~~ – x $$

となり、なんとパラメータの数が0となりました。

 

この方程式を解いてしまえば、
他のパラメータ微分方程式を解く必要がなくなることを意味していますね!!

 

実際に解いてみると

$$ x(\tau) = A \sin ( \tau + \phi_{0} ) $$

ここで、Aと\(\phi_{0}\)は積分定数です。

このようにパラメータを含まない解が出てきます!

無次元化によってパラメータに左右されない普遍的な解を得ることができる。

 

まとめ

 

無次元化をするメリットは、

  1. 理論的な解析を簡単にする
  2. 数値シミュレーションに効果的

無次元化の具体的なやり方は、

  1. 無次元化が必要な変数を決定する
  2. 無次元化するための基準量を決める
  3. 方程式に無次元量を代入し整理する

この時に方程式が綺麗になるように無次元化することがポイントです。

 

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参考資料

 
 

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