本記事では、二重シグマ（二重和）の性質をまとめていきます。
数学の教科書を読んでいると、二重シグマ（二重和）の計算で苦戦することが意外とあります。
本記事では、少しでもその負担を減らせるように二重シグマ（二重和）の計算方法・性質を共有します。
（新しい内容を随時更新していきます！）
二重シグマ（二重和）の計算
まずは、最も基本的な二重シグマ（二重和）の計算方法を紹介します。
\begin{align} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} x_{ij} &= \sum_{i=1}^{n} \left(x_{i1} + \cdots + x_{im} \right) \\ &= \sum_{i} x_{i1} + \cdots + \sum_{i} x_{in} \\ &= (x_{11} + \cdots x_{n1}) + \cdots + (x_{1m} + \cdots x_{nm})\end{align}
もしも、計算に困ったら上記のように要素を一つ一つ書くとスッキリすることが多いです！
二重シグマ（二重和）の性質
次に、二重シグマに関する性質を紹介します。
二重和の交換
$$\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} x_{ij} = \sum_{j=1}^{m} \sum_{i=1}^{n} x_{ij}$$
二重和の分解
$$\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} x_{i} y_{j} = \sum_{i=1}^{n} x_{i} \sum_{j=1}^{n} y_{j}$$
添字が二つある数列と添字が一つの数列の積
$$\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} x_{i} y_{ij} = \sum_{i=1}^{n} x_{i} \sum_{j=1}^{m} y_{ij}$$
シグマの二乗と二重シグマの関係
$$\left(\sum_{i=1}^{m} x_{i} \right)^{2} = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} x_{i} x_{j}$$
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