Science

キュムラント母関数とキュムラント展開【様々分野への応用のために】

キュムラント母関数とキュムラント展開【様々分野への応用のために】

 

Yuma
Yuma
確率分布を特徴つける量の1つであるキュムラントについて解説していきます。

キュムラントは、確率分布を特徴つける量の1つで様々な分野で重要な役割をしています。

物理的な応用としては、非平衡統計力学や多体問題で活躍してきます。

この記事では、キュムラント展開を具体的な数式を使いながら丁寧に解説していきます。

モーメント母関数』などが理解できていない場合は下記を先に読んでから読み進めることをオススメします。

積率母関数・特性関数とは【確率分布の統計量を楽に計算しましょう】m次モーメントなどの統計量は容易に計算できない時があります。そんな時に役に立つのが特性関数とモーメント生成関数です。これらを用いて容易にm次モーメントを導出することが可能になります。詳しくは記事を参考にしてください...

キュムラント母関数・m次のキュムラントの性質

キュムラント母関数とキュムラントについて解説していきます。

ゴールは『なぜキュムラントがありがたい量なの?』という問いに答えられるようになることです。

以下のステップで解説していきます。

  1. キュムラント母関数とは
  2. キュムラントとは
  3. キュムラントとモーメントの関係

 

キュムラント母関数とは

 

キュムラント母関数は以下のように定義されます。

\( K_{M}(\xi) = \log{M(\xi)} \) または \( K_{C}(\xi) = \log{C(\xi)} \)

 

キュムラントとは

 

また、キュムラント母関数が\(xi = 0 \)で解析的であるとき、m次のキュムラント\(\kappa_{m}\)は以下のように定式化されます。

$$ \kappa_{m} = \left.\frac{d^{m} K_{M}(\xi)}{d \xi^{m}} \right|_{\xi = 0} $$

または、

$$ \kappa_{m} = \frac{1}{i^{m}} \left.\frac{d^{m} K_{M}(\xi)}{d \xi^{m}} \right|_{\xi = 0} $$

 

また、m次のキュムラント\( \kappa_{m} \)を用いてキュムラント母関数\(K_{M}(\xi) \)は以下のように書けます。

$$ K_{M}(\xi) = \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{\kappa_{m}}{m !} \xi^{m} $$

物理ではm次のキュムラントを以下のように書くことがある

$$ \kappa_{m} = \langle x^{m} \rangle_{c} $$

 

m次のキュムラントとm次のモーメントの関係

 

キュムラント母関数の定義からモーメント母関数(積率母関数)は以下のように書けます。

$$ M(\xi) = e^{K_{M}(\xi)} $$

モーメント母関数\(M(\xi) \)は、m次モーメント\(\nu_{m}\)を使って以下のように展開することができます。

$$ M(\xi) = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{\xi^{m}}{m!} \nu_{m} $$

これをキュムラント母関数とモーメント母関数の関係式に代入します。

$$ \sum_{m=0}^{\infty} \frac{\xi^{m}}{m!} \nu_{m}  =  \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{[K_{M}(\xi)]^{n}}{n!} $$

キュムラント母関数が、以下のように書けるので

$$ K_{M}(\xi) = \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{\kappa_{m}}{m !} \xi^{m} $$

代入して、\( \xi \)の項で係数比較すると

以下のような関係式が導けます。

$$ \nu_{1} = \kappa_{1} $$

$$ \nu_{2} = \kappa_{2} + \kappa_{1}^{2} $$

$$ \nu_{3} = \kappa_{3} + 3 \kappa_{2} \kappa_{1} + \kappa_{1}^{3} $$

のように、m次のモーメントは、m次までのキュムラント多項式で表現することができます。

逆にm次のキュムラントは、m次のモーメント多項式で表現することができます。

$$ \kappa_{1} = \nu_{1} $$

$$ \kappa_{2} = \nu_{2} – \nu_{1}^{2} $$

2次のキュムラントは分散ですね。

$$ \kappa_{3} = \nu_{3} – 3 \nu_{2} \nu_{1} + 2 \nu_{1}^{3} $$

 

実は、ガウス分布の場合は3次以上のキュムラントは全て0になります。

例えば、ガウス分布のモーメント母関数を多項式で展開するときに、m次のモーメントで展開した場合(モーメント展開)は、どの次数も0にはならず項は続いていきますが、

m次のキュムラントで展開(キュムラント展開)した場合は、2次の項までの展開で終了します。

つまり、キュムラント展開は低次のモーメントを用いて確率分布の情報(モーメント母関数)の情報をより有効的に表現できるということです。

 

参考資料

 

参考サイト

積率母関数・特性関数とは【確率分布の統計量を楽に計算しましょう】m次モーメントなどの統計量は容易に計算できない時があります。そんな時に役に立つのが特性関数とモーメント生成関数です。これらを用いて容易にm次モーメントを導出することが可能になります。詳しくは記事を参考にしてください...

参考文献

 

まとめ

 

キュムラントは、確率分布を特徴つける重要な量です。

非平衡統計力学や多体問題などさまざな分野に応用されています。

また、統計の問題でもよく出てくるので手を動かしながら理解してください。

物理数学』をより詳しく学びたい方は下記を参考にしてください

【東大院生が厳選】物理数学のおすすめ参考書10選|レベル別に徹底解説 !物理数学は物理を学ぶためには必要不可欠です。本記事では、私の経験から確実に力がつく物理数学の参考書を10冊に厳選して紹介しました。詳しい内容は記事を参考にしてください。...

 

ABOUT ME
努力のガリレオ
【運営者】 : 東大で理論物理を研究中(経歴)東京大学, TOEIC950点, NASA留学, カナダ滞在経験有り, 最優秀塾講師賞, オンライン英会話講師試験合格, ブログと独自コンテンツで収益6桁達成 【編集者】: イングリッシュアドバイザーとして勤務中(経歴)中学校教諭一種免許取得[英語],カナダ留学経験あり, TOEIC650点
【必見】オンライン英会話を利用しないのは時代遅れ?

 

 

英語学習でオンライン英会話を利用しないのは、時代遅れです…

 

『スピーキングができないから、オンライン英会話はまだまだ後回し…』と思っている方は大間違いです。

 

最近のオンライン英会話は、教材が豊富で、もはや参考書・問題集は不要になりつつあります…

また、多くのオンライン英会話が最新メソッドを導入して、スピーキングのみならず、リーディング・リスニング・ライティングの能力も上がる教材を導入しています。

さらに、効率的な記憶ツールや学習カウンセリングのサービスが提供されることもあります!!

 

特に初心者の方は、下記の記事で紹介しているオンライン英会話をチェックしてみてください。

 

【東大生が厳選】初心者にオススメなオンライン英会話10選実は、最適なオンライン英会話はユーザーによって異なります。本記事では、複数のオンライン英会話を経験した私が、他社と比較しつつ特徴を明確にして本当にオススメできるオンライン英会話を10個厳選しました。...

 

中には、2週間の無料体験期間を提供しているオンライン英会話もあります。

英語学習が滞っている方や英語学習を習慣化できていない方は無料体験期間で良いので挑戦してみてください。

何事も行動することが大切です。

 

また、多くのオンライン英会話がTOEICやTOEFL等の外部英語試験の対策レッスンを提供してきています。

中には、追加料金なしで、本番さながらの対策や面接対策を行うことができるオンライン英会話もあります。

 

特にTOEIC対策に強いオンライン英会話は下記を参考にしてください。

 

【徹底比較】TOEIC対策に強いオンライン英会話5選|東大生が厳選!オンライン英会話はTOEICのスコアを効率的に上げる最強のツールです。本記事では、TOEICにオンライン英会話が効果的な理由とTOEIC対策に強いオンライン英会話を厳選しました。詳しい内容は記事を参考にしてください。...

 

TOEFL対策に強いオンライン英会話に関しては下記を参考にしてください。

 

【徹底比較】TOEFL対策に強いオンライン英会話5選|東大生が厳選!TOEFL対策にオンライン英会話は有効です。事実、私もTOEFL対策のためにオンライン英会話を使用してTOEFL ibtの4技能、TOEFL itpのスコアを爆上げすることができました。この記事では、私が思うTOEFL対策に最適なオンライン英会話を紹介しました。...