行列の合同変換（定義・性質）
本記事では行列の合同変換の定義と性質を紹介します。
合同変換
合同変換とは以下のように定義されます。
合同変換
エルミート行列\(A\)と正則行列\(P\)を用いて以下のように変換することを\(A\)の\(P\)による合同変換という
$$A \mapsto P^{\dagger} A P$$
注意しなくてはならないのが相似変換の際は固有値の性質を保存しませんが、合同変換は一般に固有値の性質を保存しません。
その代わりに正定値性を保存することをこれから説明します。
合同変換の性質
合同変換は正定値性を保存します。
定理
エルミート行列\(A \in \mathbb{C}^{n \times n}\)、正則行列\(P\in \mathbb{C}^{n \times n}\)に対して以下が成り立つ。
$$A \succ 0 \Leftrightarrow P^{\dagger} A P \succ 0$$
証明も簡単なので簡単に証明を行います。
まずは、(\(\Leftarrow\))は以下のように示されます。
$$\forall \mathbf{x} \in \mathbb{C}^{n}\backslash\{0\},~~\mathbf{x}^{\dagger}(P^{\dagger}AP)\mathbf{x} = (P\mathbf{x})^{\dagger}A(P\mathbf{x}) >0$$
次に、(\(\Leftarrow\))を示します。
$$\forall \mathbf{x} \in \mathbb{C}^{n}\backslash\{0\},~~\mathbf{x}^{\dagger}A\mathbf{x} = (P^{-1}\mathbf{x})^{\dagger}(P^{\dagger}AP)(P^{-1}\mathbf{x}) >0$$
参考文献
基本的には下記の記事で紹介している参考書を利用しました。
まとめ
本記事では、行列の『合同変換』の定義と性質をまとめました。
合同変換の性質は、たびたび現れるので覚えておくと良いです。
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