【線形代数】行列のトレースとは｜定義と性質を解説！

定義(トレース)

\(A = (a_{ij}) \in \mathbb{R}^{n \times n}\)に対してトレースは以下のように定義される。

$$\text{tr} A = \sum_{i=1}^{d} a_{ii}$$

定理(基本的な性質)

\(A\), \(B\)を\(n\)次正方行列、\(k\)をスカラーとする。

• \(\mathrm{tr}(A^{\top}) = \mathrm{tr} A \)
• \(\mathrm{tr}(kA) = k \mathrm{tr} A\)
• \(\mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(BA)\)

定理(トレースの巡回不変性)

行列\(A\), \(B\), \(C\)に対してトレースは以下の性質が成り立つ。

$$\text{tr}(A B C) = \text{tr}(C A B) = \text{tr}(B C A)$$

定理(トレースの相似不変性)

行列\(A\)の相似変換について以下が成り立つ。

$$\text{tr}(P A P^{-1}) = \text{tr}(A)$$

定理(固有値とトレース)

\(A\)を\(n\)次正方行列とし、その固有値を\(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}\)とする。

このとき、以下が成り立つ。

$$\mathrm{tr} A = \sum_{k=1}^{n} \lambda_{k}$$

定理(行列積とトレースの性質)

\(A = (a_{ij})\)と\(m \times n\)行列, \(B = (b_{ij})\)と\(m \times n\)行列とする。

このとき、以下が成り立つ。

$$\text{tr} (A B^{\top}) = \text{tr} (A^{\text{T}} B) = \text{tr} ( B A^{\top} )= \text{tr} ( B^{\top} A) = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} b_{ij}$$

定義(フロべニウスノルム)

\(A\)を\(n \times m\)行列とする。このとき、フロべニウスノルムを以下で定義する。

$$\|A\|_{F} = \sqrt{\mathrm{tr}(A^{\top} A)} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} a_{ij}^{2}}$$