ラグランジュの未定乗数法を具体的な例題で徹底解説

本記事では、制約付き極値問題を解くための手法である、ラグランジュの未定乗数法について説明します。

ラグランジュ未定乗数法の目的
ラグランジュの未定乗数法とは
ラグランジュの未定乗数法の例題
まとめ

ラグランジュ未定乗数法の目的

まずは、ラグランジュの未定乗数法の目的を整理します。

ラグランジュの未定乗数法の目的

$n$変数関数の$m$個の等式制約$g_{1}(x_{1}, \ldots, x_{n}) = \cdots = g_{m}(x_{1}, \ldots, x_{n})$のもとで、$f(x_{1}, \ldots, x_{n})$が極値を取る点を求める

よく教科書の説明では、以下のように二変数のケースが説明されることが多いですが、一般に複数の変数からなる関数、複数の等式制約があるケースにも適用できます。

ラグランジュの未定乗数法の目的｜二変数の場合

2変数関数の等式制約$g(x, y) = 0$のもとで, $f(x, y)$が極値を取る点を求める

ラグランジュの未定乗数法とは

ラグランジュの未定乗数法とは、以下の定理を利用して、先ほど紹介した等式制約下の極値問題を解く方法です。

定理 : ラグランジュの未定乗数法

\begin{align} &L(x_{1}, \ldots, x_{n}, \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{m}) \\ &= f(x_{1}, \ldots, x_{n}) ~- \sum_{i=1}^{m} \lambda_{i} g_{i}(x_{1}, \ldots, x_{n}) \end{align}

とおくと、$g_{1}(x_{1}, \ldots, x_{n}) = \cdots = g_{m}(x_{1}, \ldots, x_{n})$のもとで、$f(x_{1}, \ldots, x_{n})$が極値を取る点は、以下を満たす。

$$\frac{\partial L}{\partial x_{1}} = \cdots = \frac{\partial L}{\partial x_{n}} = \frac{\partial L}{\partial \lambda_{1}} = \cdots = \frac{\partial L}{\partial \lambda_{m}} = 0$$

または、以下を満たす。

$$\sum_{i=1}^{m} \lambda_{i} \frac{\partial g_{i}}{\partial x_{1}} = \cdots = \sum_{i=1}^{m} \lambda_{i} \frac{\partial g_{i}}{\partial x_{n}} = 0$$

$L(x_{1}, \ldots, x_{n})$はラグランジュ関数と呼ばれます。

これも、教科書だと二変数の場合がよく紹介されるので、理解しやすいように二変数の場合の定理も以下に示します。

定理｜二変数の場合

$$L(x, y, \lambda) = f(x, y) – \lambda g(x, y)$$

とおくと、$g(x, y)$のもとで、$f(x, y)$が極値を取る点は、以下を満たす。

$$\frac{\partial L}{\partial x} = \frac{\partial L}{\partial y} = \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0$$

または、以下を満たす。

$$ \frac{\partial g}{\partial x} = \frac{\partial g}{\partial y} = 0$$

ここからは、例題を通して理解を固めましょう！

ラグランジュの未定乗数法の例題

具体的には、以下の手順で等式制約下の極値問題を解くことができます。

ラグランジュ関数を求める
各変数とラグランジュ乗数の偏微分を求める
連立方程式を解く

実際に、例題を使って詳しく解説します。

例題について

今回は、以下のような例題を考えます。

例題

体積が一定値$V$の直方体のうち、縦、横、高さの三辺の長さの和が最小となるものを求めよ。

この問題を解いていきます。

① : ラグランジュ関数を求める

まずは、問題を数式で表します。

縦、横、高さをそれぞれ $x_{1}, x_{2}, x_{3} $とすると、三辺の長さの和 $ f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) $は、以下のように表せます。

$$ f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1} + x_{2} + x_{3} $$

次に、体積が一定値 $V = x_{1} x_{2} x_{3} $という制約条件を以下のように等式制約条件に変換しましょう。

$$ g( x_{1}, x_{2}, x_{3} ) = x_{1} x_{2} x_{3} – V = 0 $$

ここまでの結果からラグランジュ関数は以下のように表せます。

$$ L( x_{1}, x_{2}, x_{3}, \lambda ) = x_{1} + x_{2} + x_{3} ~- \lambda ~( x_{1} x_{2} x_{3} – V) $$

② : 各変数とラグランジュ乗数の偏微分を求める

次にラグランジュ関数$L( x_{1}, x_{2}, x_{3}, \lambda )$ の偏微分を求めると以下のようになります。

\begin{align} \frac{\partial L }{\partial x_{1}} &= 1 ~- \lambda x_{2} x_{3} \\ \frac{\partial L }{\partial x_{2}} &= 1 ~- \lambda x_{1} x_{3} \\ \frac{\partial L }{\partial x_{3}} &= 1 ~- \lambda x_{1} x_{2} \\ \frac{\partial L }{\partial \lambda} &= x_{1} x_{2} x_{3} ~- V \end{align}

連立方程式を解く

極値となる$ (x_{1}, x_{2}, x_{3} ) $を見つけるために以下の方程式を求めます。

\begin{align} &1 ~- \lambda x_{2} x_{3} = 0 \\ &1 ~- \lambda x_{1} x_{3} = 0 \\ &1 ~- \lambda x_{1} x_{2} = 0 \\ &x_{1} x_{2} x_{3} ~- V = 0 \end{align}

この方程式の解は、$ x_{1} = x_{2} = x_{3} = V^{1/3} $となり、極値は$ f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 3 V^{1/3} $ となります。

また、$f(x_{1}, x_{2}, x_{3})$は、一辺を無限に長くすることで、3辺の和を体積一定のまま無限にすることができるため、最大値は存在しません。

すなわち、$ f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 3 V^{1/3} $は最小値となります。

結局、3辺の値が最小になるのは立方体というオチでした！