本ブログで使用する数学記法

本ブログで使用する数学記法

 

本ブログで使用する数学記法を説明します。

本ブログで使用する数学記法

 

\( \mathbb{R} \) 実数集合
\( \mathbb{R}_{+} \) 非負の実数集合
\( x \) 確率変数の実現値
\( {\bf x} \)

ベクトル

\( {\bf x} = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{n} )^{\text{T}} \)

特に断りがなければ、列ベクトルを利用する。

各要素を\(\{\mathbf{x}\}_{i} = x_{i}\)と表記する。

\( X \) 確率変数
\( {\bf X } \)

行列

より簡潔に、\({\bf X} = [x_{ij}]\)と表される。

各要素\(\{\mathbf{X}\}_{ij} = x_{ij} \)と表す。

\( {\bf I} \) 単位行列
\( \text{det} {\bf X} \) 行列式
\({\bf 1}\)[A] 定義関数 : Aが真のとき1、Aが偽のとき0
\(\text{sign}(x)  \) 符号関数 : \(1~ (x \ge 0 ),~ -1~ (x < 0 ) \)
\(\| \cdot \|  \) 2- ノルム

 

本ブログで使用する関数の記法について

 

\(\sigma(x) \)

ジグモイド関数

\(\sigma(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}  \)

\(  \delta(x) \)

デルタ関数

\( \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x) dx = f(0) \)

\( \delta_{ij} \)

クロネッカーのデルタ

\(\delta_{ij} = \begin{cases} 1 & (i=j) \\ 0 & (i \neq j) \end{cases}  \)

項目名 ここに説明文を入力してください。
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オーダー記法について

 

\(f = \mathcal{O}(g) \) \( \exists \alpha \in \mathbb{R}_{+}~~ \exists x_{0} \in \mathbb{R}~~\forall x > x_{0}~~f(x) \le \alpha g(x) \)
\(f = o(g) \) \( \forall \alpha > 0~~ \exists x_{0} \in \mathbb{R}~~\forall x > x_{0}~~f(x) \le \alpha g(x) \)
\(f = \Omega(g) \) \( \exists \alpha \in \mathbb{R}_{+}~~ \exists x_{0} \in \mathbb{R}~~\forall x > x_{0}~~f(x) \ge \alpha g(x) \)
\(f = \omega(g) \) \( \forall \alpha > 0~~ \exists x_{0} \in \mathbb{R}~~\forall x > x_{0}~~f(x) \ge \alpha g(x) \)

 

論理式で目が追えなくなる人が多いと思うので、\(f = \mathcal{O}(g) \)を図を用いて解説します。

オーダ記法のイメージ

論理式を図で書くと上記のようになります。

つまり、\(x\)を大きくしていけば、いずれ、\(f(x)\)は\(\alpha g(x) \)よりも小さくなることを意味しています。

他のオーダ記法も同様の考え方で理解できます。

論理式の扱いに慣れるために

 

多くの方が苦手な、『ε- δ論法』的な説明をすんなり理解するために、『数学ガール』の説明が私は理解しやすく感じたので引用します。

具体例として、連続の定義を論理式で表現します。

関数\(f(x)\)が次式を満たすとき、\( f(x) \)は\(x=a\)で連続である。

$$\forall \epsilon > 0~, \exists \delta > 0, \text{s.t.}~ |x-a| < \delta \Rightarrow | f(x) – f(a) | < \epsilon$$

数学ガールの結城さんは、以下のようにわかりやすく解剖しています(1)。

\( \forall \epsilon > 0 \) : どんな正の数\(\epsilon\)に対しても

\(\exists \delta > 0  \) : \( \epsilon \)ごとに、\( \delta \)を適切に選べば

\( \text{s.t.} \) 〜  :  〜という条件を成り立たせることができる

引用元 : 数学ガール