本ブログで使用する数学記法

 

本ブログで使用する数学記法を説明します。

本ブログで使用する数学記法

 

\( \mathbb{R} \)	実数集合
\( \mathbb{R}_{+} \)	非負の実数集合
\( x \)	確率変数の実現値
\( {\bf x} \)	ベクトル \( {\bf x} = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{n} )^{\text{T}} \) 特に断りがなければ、列ベクトルを利用する。 各要素を\(\{\mathbf{x}\}_{i} = x_{i}\)と表記する。
\( X \)	確率変数
\( {\bf X } \)	行列 より簡潔に、\({\bf X} = [x_{ij}]\)と表される。 各要素\(\{\mathbf{X}\}_{ij} = x_{ij} \)と表す。
\( {\bf I} \)	単位行列
\( \text{det} {\bf X} \)	行列式
\({\bf 1}\)[A]	定義関数 : Aが真のとき1、Aが偽のとき0
\(\text{sign}(x)  \)	符号関数 : \(1~ (x \ge 0 ),~ -1~ (x < 0 ) \)
\(\| \cdot \|  \)	2- ノルム

 

本ブログで使用する関数の記法について

 

\(\sigma(x) \)	ジグモイド関数 \(\sigma(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}  \)
\(  \delta(x) \)	デルタ関数 \( \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x) dx = f(0) \)
\( \delta_{ij} \)	クロネッカーのデルタ \(\delta_{ij} = \begin{cases} 1 & (i=j) \\ 0 & (i \neq j) \end{cases}  \)
項目名	ここに説明文を入力してください。
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オーダー記法について

 

\(f = \mathcal{O}(g) \)	\( \exists \alpha \in \mathbb{R}_{+}~~ \exists x_{0} \in \mathbb{R}~~\forall x > x_{0}~~f(x) \le \alpha g(x) \)
\(f = o(g) \)	\( \forall \alpha > 0~~ \exists x_{0} \in \mathbb{R}~~\forall x > x_{0}~~f(x) \le \alpha g(x) \)
\(f = \Omega(g) \)	\( \exists \alpha \in \mathbb{R}_{+}~~ \exists x_{0} \in \mathbb{R}~~\forall x > x_{0}~~f(x) \ge \alpha g(x) \)
\(f = \omega(g) \)	\( \forall \alpha > 0~~ \exists x_{0} \in \mathbb{R}~~\forall x > x_{0}~~f(x) \ge \alpha g(x) \)

 

論理式で目が追えなくなる人が多いと思うので、\(f = \mathcal{O}(g) \)を図を用いて解説します。

論理式を図で書くと上記のようになります。

つまり、\(x\)を大きくしていけば、いずれ、\(f(x)\)は\(\alpha g(x)\)よりも小さくなることを意味しています。

他のオーダ記法も同様の考え方で理解できます。

論理式の扱いに慣れるために

 

多くの方が苦手な、『ε- δ論法』的な説明をすんなり理解するために、『数学ガール』で利用されている記述を共有いたします。

具体例として、連続の定義を論理式で表現します。

数学ガールの結城さんは、以下のようにわかりやすく解剖しています(1)。

\( \forall \epsilon > 0 \) : どんな正の数\(\epsilon\)に対しても

\(\exists \delta > 0  \) : \( \epsilon \)ごとに、\( \delta \)を適切に選べば

\( \text{s.t.} \) 〜  :  〜という条件を成り立たせることができる

引用元 : 数学ガール